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Pipeline #9373 failed with stages
in 1 minute and 2 seconds
......@@ -8,6 +8,7 @@
\newcommand {\gb} {\tilde{\mathbf {g}}}
\newcommand {\nablab} {\bm{\nabla}}
\begin{document}
\section{Particules isolées}
\begin{align*}
\ub^*_p &= \ub_p^n+\frac{\Delta t}{m} (\Fb_p + \Fb_c)\\
\Fb_p &= -\gamma^n(\ub^*_p-\ub_f^{n+1}) + \gb m - V\nablab p\\
......@@ -33,4 +34,40 @@
\Fb^2_f
&= \Fb^1_f+V\nablab p
\end{align*}
\newpage
\section{Avec des corps}
\begin{align*}
\ub^*_p &= \ub_p^n+\Delta t \,\mathcal{W}\,(\Fb_p + \Fb_c)\\
\Fb_p &= -\gamma^n(\ub^*_p-\ub_f^{n+1}) + \gb m - V\nablab p\\
\\
\ub_p^* &= \ub^n_p-\Delta t\,\mathcal{W}\, \gamma^n(\ub_p^*-\ub_f^{n+1}) +\gb \Delta t + \Delta t\,\mathcal{W}\,(\Fb_c -V\nablab p)\\
&= \left(\mathcal{I}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\Delta t\right)^{-1}\left(\ub^n_p+\,\mathcal{W}\,\Delta t\,\gamma^n\ub^{n+1}_f+\gb \Delta t + \Delta t\,\mathcal{W}\,(\Fb_c-V\nablab p)\right)\\
&= \Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\ub^{n+1}_f\right)\\
\intertext{}
\ub_p^{**} &= \ub_p^n+\Delta t(\gb+\mathcal{W}(\Fb_c-V\nablab p))\\
\intertext{Si on ne compte pas l'intégrale de la pression dans la force exercée par la particule sur le fluide (i.e. on ne met pas le $c$ devant le $\nablab p$ dans le terme de volume).}
\Fb^1_f &=
\gamma^n(\ub^*_p-\ub_f^{n+1})\\
&=
\gamma^n\left(
\Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\ub^{n+1}_f\right)
-\ub_f^{n+1}\right)\\
&=
\gamma^n
\Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\ub^{n+1}_f -\frac{\ub_f^{n+1}}{\Delta t}(\mathcal{I} + \mathcal{W}\gamma^n\Delta t)\right)
\\
%%%%
&=
\gamma^n
\Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t} -\frac{\ub_f^{n+1}}{\Delta t}\right)
\\
%%%%
&=
\gamma^n
(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\ub^{**}_p -\ub_f^{n+1}\right)
\\
\intertext{Si on compte l'intégrale de la pression dans la force exercée par la particule sur le fluide (i.e. on met le $c$ devant le $\nablab p$ dans le terme de volume).}
\Fb^2_f
&= \Fb^1_f+V\nablab p
\end{align*}
\end{document}
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