patankard bodies

doc/Patankar.tex

@@ -8,6 +8,7 @@
 \newcommand {\gb} {\tilde{\mathbf {g}}}
 \newcommand {\nablab} {\bm{\nabla}}
 \begin{document}
+\section{Particules isolées}
 \begin{align*}
   \ub^*_p &= \ub_p^n+\frac{\Delta t}{m} (\Fb_p + \Fb_c)\\
 \Fb_p       &= -\gamma^n(\ub^*_p-\ub_f^{n+1}) + \gb m - V\nablab p\\
@@ -33,4 +34,40 @@
 \Fb^2_f
 &= \Fb^1_f+V\nablab p
 \end{align*}
+\newpage
+\section{Avec des corps}
+\begin{align*}
+  \ub^*_p &= \ub_p^n+\Delta t \,\mathcal{W}\,(\Fb_p + \Fb_c)\\
+\Fb_p       &= -\gamma^n(\ub^*_p-\ub_f^{n+1}) + \gb m - V\nablab p\\
+\\
+  \ub_p^* &= \ub^n_p-\Delta t\,\mathcal{W}\, \gamma^n(\ub_p^*-\ub_f^{n+1}) +\gb \Delta t + \Delta t\,\mathcal{W}\,(\Fb_c -V\nablab p)\\
+  &= \left(\mathcal{I}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\Delta t\right)^{-1}\left(\ub^n_p+\,\mathcal{W}\,\Delta t\,\gamma^n\ub^{n+1}_f+\gb \Delta t + \Delta t\,\mathcal{W}\,(\Fb_c-V\nablab p)\right)\\
+  &= \Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\ub^{n+1}_f\right)\\
+\intertext{où}
+  \ub_p^{**} &= \ub_p^n+\Delta t(\gb+\mathcal{W}(\Fb_c-V\nablab p))\\
+  \intertext{Si on ne compte pas l'intégrale de la pression dans la force exercée par la particule sur le fluide (i.e. on ne met pas le $c$ devant le $\nablab p$ dans le terme de volume).}
+\Fb^1_f &=
+\gamma^n(\ub^*_p-\ub_f^{n+1})\\
+&= 
+\gamma^n\left(
+\Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\ub^{n+1}_f\right)
+  -\ub_f^{n+1}\right)\\
+&= 
+\gamma^n
+  \Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t}+\gamma^n\,\mathcal{W}\,\ub^{n+1}_f -\frac{\ub_f^{n+1}}{\Delta t}(\mathcal{I} + \mathcal{W}\gamma^n\Delta t)\right)
+ \\
+%%%%
+&= 
+\gamma^n
+  \Delta t(\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\frac{\ub^{**}_p}{\Delta t} -\frac{\ub_f^{n+1}}{\Delta t}\right)
+ \\
+%%%%
+&= 
+\gamma^n
+  (\mathcal{I}+\mathcal{W}\,\gamma^n\Delta t)^{-1}\left(\ub^{**}_p -\ub_f^{n+1}\right)
+ \\
+\intertext{Si on compte l'intégrale de la pression dans la force exercée par la particule sur le fluide (i.e. on met le $c$ devant le $\nablab p$ dans le terme de volume).}
+\Fb^2_f
+&= \Fb^1_f+V\nablab p
+\end{align*}
 \end{document}